Lineare Modellgestützte Prädiktive Regelung

Der Begriff lineare MPR wird verwendet, wenn das zur Prädiktion verwendete Prozessmodell linear ist und nicht zu verwechseln mit einem linearen Verhalten des Reglers. Trotz eines linearen internen Modells ist dessen Verhalten bei einer Berücksichtigung von Nebenbedingungen in der Optimierung nichtlinear. Unter dem Begriff lineare MPR haben sich verschiedene Verfahren mit eigenständigen Bezeichnungen etabliert. Dabei unterscheiden sich diese Verfahren vor allem in der Struktur des zugrunde liegenden Prozessmodells. Zu den historisch bedeutenden Verfahren gehören Dynamic Matrix Control (Verwendung von Gewichtsfolgenmodellen) und Generalized Predictive Control unter Verwendung von diskreten Übertragungsfunktionen.

Formulierung der Kostenfunktion

Ausgehend vom linearen Zustandsraummodell

 

x(k+1|k)=Ax(k)+Bu(k)

y(k)=Cx(k)

 

lässt sich die gesuchte Prädiktion der Regelgröße y im Prädiktionshorizont als lineare Funktion der zu optimierenden Stellgrößenänderungen formulieren:

 

y(·|k)=f(·|k)+ΦΔu(·|k)

 

Dabei bezeichnet

 

f(·|k)=Ωx(k)+Θu(k-1)

 

die freie Regelantwort welche nur von bereits bekannten Systemgrößen abhängt und nicht mehr beinflusst werden kann. Die konstanten Matrizen Ω, Θ und Φ sind dabei Funktionen der Systemmatrizen A, B, und C. Die Kostenfunktion J ergibt sich daraus als quadratische Funktion der zu optimierenden Variablen

 

J=e(·|k)TQe(·|k)+2e(·|k)TQΦΔu(·|k)+Δu(·|k)T(ΦTQΦ+R)Δu(·|k)

 

mit dem freien Regelfehler

 

e(·|k)=f(·|k)-r(·|k) .

Unbeschränkte quadratische Optimierung

Unterliegt das System keinerlei Beschränkungen in Stell-, Regel- und Zustandsgrößen, so ergibt sich der in der nebenstehenden Abbildung dargestellte Sonderfall einer linearen Regelung. Die Optimalitätsbedingung für das quadratische Kostenfunktional lautet

 

2ΦTQe(·|k)+2(ΦTQΦ+R)Δu(·|k)opt=0

 

womit sich die optimalen aktuellen Stellgrößenänderungen zu

 

Δu(·|k)opt=-KMPRe(·|k)

 

mit

 

KMPR=[I 0 ... 0](ΦTQΦ+R)-1ΦTQ

 

berechnen.

Beschränkte quadratische Optimierung

Wie bereits erwähnt, liegt der Hauptvorteil der MPR in der expliziten Berücksichtigung von Beschränkungen der Stell-, Zustands- und Regelgrößen begründet. Da diese Beschränkungen im Allgemeinen in Form von einzuhaltenden Minimal- bzw. Maximalwerten gegeben sind, und sich entsprechende Grenzen der Zustands- und Regelgrößen aufgrund des linearen Prozessmodells in äquivalente lineare Beschränkungen der Stellgrößen umrechnen lassen, ergibt sich ein Optimierungsproblem mit einer quadratischen Zielfunktion und linearen Gleichungs- und Ungleichungsnebenbedingungen.

Für dieses, als ”Quadratisches Programm” bezeichnete Optimerungsproblem, stehen effiziente numerische Lösungsverfahren zur Verfügung, deren Idee hier nur in Grundzügen angesprochen werden soll. Da Gleichungsnebenbedingungen immer erfüllt sein müssen, schränken sie den Freiheitsgrad des Optimierungsproblems, d. h. die Anzahl an frei wählbaren Optimierungsvariablen Δui, ein. Die Lösung des Optimierungsproblems bei ausschließlichem Vorhandensein von Gleichungsnebenbedingungen lässt sich somit immer als ein unbeschränktes Optimierungsproblem auf einem Subraum des von den Variablen Δui aufgespannten Raumes formulieren. Treten zusätzlich Ungleichungsnebenbedingungen auf, so können diese entweder aktiv oder inaktiv sein. Bei inaktiven Nebenbedingungen liegt das analytische Optimum Δuopt im zulässigen Gebiet und das Vorhandensein dieser Beschränkung ist somit irrelevant. Verletzt das analytische Optimum jedoch eine der Ungleichungsnebenbedingungen, so wird diese aktiv. Dann ist es offensichtlich, dass die optimale Lösung auf dieser Beschränkung liegen muss, und diese aktive Beschränkung somit zur Gleichheitsnebenbedingung wird. Mit ihr kann dann wie mit den anderen Gleichungsnebenbedingungen verfahren werden. Der Kern der so genannten ”Active set”-Strategien liegt im Auffinden der aktiven Ungleichungsnebenbedingungen durch eine gezielte Iteration. Eine alternative Klasse von Verfahren zur Lösung Quadratischer Programme stellen die ”Interior Point”-Methoden dar, die vor allem bei hochdimensionalen Optimierungsaufgaben Vorteile besitzen.