LMI Verfahren

LMI steht für Lineare Matrix Ungleichungen (engl. linear matrix inequalities), die alle linearen Beziehungen der Form

 

Fi(x) < 0

 

wobei die Fi affine Abbildungen des Vektors x ist. LMI Formulierungen treten typischerweise im Zusammenhang mit zwei Problemen auf:

 

(a) Existenz einer Lösung

 

gibt es ein x, so dass für alle i gilt: Fi(x) < 0

 

(b) Optimierung mit Nebenbedingung

 

min f(x)

Fi(x) < 0

 

LMI in der Regelungstechnik

 

Eine Vielzahl von Regelkriterien lässt sich in Form der H2 bzw. H∞ Systemnorm formulieren. Neben dem Einschwingverhalten (siehe Optimale Regelung) lassen sich damit auch maximale Verstärkungen bewerten bzw. frequenzabhängig obere Schranken für Übertragungsfunktionen angeben (siehe Loop Shaping).

Dazu wird - wie im oberen Bild dargestellt - die geregelte Strecke mit allen ihren zu bewertenden Ein- und Ausgängen als verallgemeinerte Strecke beschrieben. Für das zugehörige Zustandsraummodell gilt:

 

x' =Ax+Bw

z∞=C∞x+D∞1w+D∞2u

z2=C2x+D21w+D22u

 

(A ist dabei die Systemmatrix der geregelten Strecke)

 

Obere Schranken γ an die H2 bzw. H∞ Norm können nun mit der obigen Systembeschreibung als LMI formuliert werden:

Dabei sind P und W Matrix-Variablen des LMI-Problems.

 

Lösung von LMI

 

Die oben angegebenen LMI beschrieben (zusammen mit konvexen Funktionen f(x) des Gütefunktionals) ein konvexes Problem, zu dem es eine eindeutige (oder keine) Lösung gibt - effiziente numerische Verfahren zur Lösung des Problems sind z.B. Interior-Point-Methoden.

 

LMI in der Robusten Regelung

 

Auch einige Verfahren zum Nachweis der Robusten Stabilität lassen sich als LMI formulieren, hier sind u.a. zu nennen

 

  • quadratische Stabilität
  • μ Analyse
  • Popov Kriterium

 

Als Beispiel sei die Bedingung der quadratischen Stabilität für Strecken, deren Matrizen affin von den unsicheren Parametern abhängen, angegeben - für alle Ecken der Parameter muss gelten: PAi+AiTP < 0 und P > 0. Diese Bedingungen lassen sich (a priori) in die Reglerauslegung mit einbeziehen oder (a posteriori) für den ausgelegten Regelkreis nachprüfen.

 

Auch andere regelungstechnische Verfahren, wie die MPR, lassen sich um Robustheitsanforderungen, die als LMI formuliert werden, erweitern. Siehe dazu auch die Robuste MPR mit LMI

Literatur

  • Boyd, S.; Ghaoui, L. E.; Feron, E. & Balakrishnan, V.: Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory; Siam, 1994
  • Apkarian, P.; Becker, G.; Gahinet, P. & Kajiwara, H.: LMI Techniques in Control Engineering; CDC 1996 Kobe, Japan, 1996
  • Gahinet, P.; Nemirovski, A.; Laub, A. J. & Chilali, M.: LMI Control Toolbox - for use with MATLAB; The Mathworks, 1995