Flachheitsbasierte Steuerung / Regelung

Das Konzept der Flachheit wurde 1992 von Filess et. al [1] eingeführt und ermöglicht eine neue Art der Behandlung nichtlinearer Systeme. Es handelt sich dabei um eine Erweiterung des linearen Steuerbarkeitsbegriffs, welcher einen systematischen Entwurf von nichtlinearen und linearen Regelungen zur Trajektorienfolge, sowie Steuerungen für derartige System erlaubt [2]


Neben nichtlinearen und linearen Systemen können auch verteiltparametrische Systeme [4,5,6,7,8] und Systeme mit Totzeiten [8,9] behandelt werden.

Da die Flachheit einer Systemeigenschaft, ähnlich der Steuerbarkeit bei linearen Systemen, entspricht muss zunächst untersucht werden, ob ein System flach ist. Hierzu können differentialgeometrische Methoden genutzt werden, wobei die Analyse der Flachheitseigenschaft eines Systems diese nicht zwangsläufig benötigt. Beispielsweise sind lineare steuerbare Systeme flach.

Flachheitsbasierte Steuerung

Die dynamische Vorsteuerung von Systemen erfordert eine Systeminversion. Da bei flachen Systeme die Zustände und der Eingang vollständig durch den flachen Ausgang parametriert sind, kann eine Vorsteuerung sehr leicht bestimmt werden. Dies ist v.a. dann sehr einfach, wenn der flache Ausgang dem Systemausgang entspricht. Durch Vorgabe einer entsprechend stetig differenzierbaren Funktion als gewünschter Trajektorienverlauf für den Systemausgang, kann dann die Eingangstrajektorie bestimmt werden.

Daher spielt neben der Bestimmung des flachen Ausgangs die Trajektorienplanung beim flachheitsbasierten Entwurf eine entscheidende Rolle.

Flachheitsbasierte Regelung

Eine mögliche Regelungsstruktur für eine flachheitsbasierte Regelung ist die 2-Freiheitsgradstruktur, welche am Institut für Regelungstechnik bereits erfolgreich im Rahmen der Pressenregelung beim Thixoforming angewendet wurde.

 

Die Vorsteuerung wurde im vorliegenden Fall mit Hilfe der Flachheit bestimmt und durch eine Rückführstruktur zur Behandlung des Störverhaltens ergänzt. Hierbei ist in praktischen Anwendungsfall häufig eine PID-Struktur ausreichend.

Literatur

[1] Fliess, M.; Lévine J.; Martin P.; Rouchon, P.: On differentially flat nonlinear systems. In M. Fliess (Editor); Nonlinear Control System Design. S. 408-412; Pergamon Press, 1992.
[2] Rothfuß, R.; Rudolph, J.; Zeitz, M.; Flachheit: Ein neuer Zugang zur Steuerung ung Regelung nichtlinearer Systeme. In at-automatisierungstechnik, 11:S. 517-524; 1997.
[3] Lynch A.F.; Rudoph J.: Flachheitsbasierte Randsteuerung parabolischer Systeme mit verteilten Parametern. at-Automatisierungstechnik, 48:478–486, 2000.
[4] Fleck Ch.; Abel D.:A method to dertermine a flat output and the parametrization of the solztion of some systems described by partial differential equations, CD Rom, Proc. European Control Conference, Cambridge, UK, 1.-4. September 2003.
[5] Fleck Ch.; Schönbohm A.; Abel D.::Flatness Based Trajectory Generation for a System with Heat-Generation Term shown for the Inductive Heating for Thixoforming, CD Rom, Proc. European Control Conference, Cambridge, UK, 1.-4. September 2003.
[6] Fleck Ch.;Paulus Th.; Abel D.: Flatness based open loop control for a parabolic partial differential equation with a moving boundary, CD-Rom Proc. European Control Conference, Cambridge, UK, 1.-4. September 2003.
[7] Fleck Ch.; Paulus, Th.; Schönbohm A.; Flatness based open loop control for the twin roll strip casting process; Proceedings of the 6th Nonlinear Control and System Design Symposium. 01.-03. Sept. NOLCOS, Stuttgart.
[8] Fleck Ch.; Paulus Th.: Ein Beitrag zur flachheitsbasierten Randsteuerung von hyperbolischen partiellen Differentialgleichungen, Interlaken, 26.09-28.09.2004.
[9] Rudolph, J.;Winkler J.: A generalized Flatness concept for nonlinear delay systems: a motivation by chemical reactor models with constant or input dependent delays. Internat. J. of System Scie. 34, 529;2003.