Nichtlineare Prädiktive Regelung

Obwohl auch bei Verwendung eines linearen Prozessmodells bei Berücksichtigung von Prozessbegrenzungen der resultierende Regler nichtlinear ist, werden unter dem Begriff der Nichtlinearen Prädiktiven Regelung Regelungen verstanden, die explizit ein nichtlineares Modell des zu regelnden Prozesses zur Prädiktion des zukünftigen Prozessverhaltens nutzen. Bei einem nichtlinearen System kann vorab keine Aussage über die Struktur des Systems gemacht werden; die nichtlineare Zustandsraumbeschreibung

 

x(k+j+1|k)=f(x(k+j|k),u(k+j|k))

y(k+j+1|k)=h(x(k+j|k),u(k+j|k))

 

beinhaltet vielmehr alle denkbaren Strukturen als Teilmenge der allgemeinen Darstellung. Dies können z.B. Terme höherer Ordnung, Expontialterme, mutliplikative Verknüpfungen von Zustands- und Eingangsgröße oder Unstetigkeiten beliebiger Art sein, um nur einige Beispiele zu nennen.

Nichtlineare Optimierung

Wird nur die Minimierung der Kostenfunktion betrachtet, so ist das prinzipielle Vorgehen bei der nichtlinearen Prädiktiven Regelung identisch mit dem linearen Fall. Ausgehend von den aktuell zur Verfügung stehenden Daten, dem aktuellen Zustandsvektor, wird die Kostenfunktion aufgestellt, abhhängig von der gesuchten, optimalen Stellgrößenänderung formuliert und anschließend mit geeigneten numerischen Verfahren minimiert. Schon beim Aufstellen der Kostenfunktion tritt jedoch ein gravierender Unterschied auf: Da die Struktur des Systems beliebig sein kann, ist es nicht möglich, eine allgemeine Form anzugeben, die nur mit den Modellparametern gefüllt werden muss, wie dies bei linearer Prädiktiver Regelung der Fall ist. Weiterhin kann es sogar sinnvoll sein, von der quadratischen Form zu anderen Strukturen der Kostenfunktion überzugehen, was weitere Variationsmöglichkeiten eröffnet.

Auch die Minimierung der so erzeugten Kostenfunktion kann nicht allgemein durchgeführt werden. Da jede denkbare System- und damit Kostenfunktionstruktur möglich ist, muss hier für jedes neue System erneut ein geeigneter Algorithmus gesucht werden.

Es existieren zahlreiche Algorithmen für die nichtlineare Optimierung; im Gegensatz zum linearen Fall ist es hier jedoch nicht möglich, eine Garantie für den Erfolg des Algorithmus zu geben. Jede Routine kann stets nur ein lokales Minimum finden, bei der Existenz von mehreren für eine gewählte Kostenfunktion hängt die Lage des gefundenen stark von dem gewählten Startpunkt, vorgegebenen Nebenbedingungen und der genauen Form der Funktion ab.

Linear basierte Ansätze

Aufgrund der prinzipbedingten Schwierigkeiten bei Verwendung der nichtlinearen Optimierung wird häufig als beste Näherung ein Ansatz gewählt, bei dem in jedem Schritt das System um den aktuell gültigen Arbeitspunkt linearisiert wird. Damit können die bekannten Maßnahmen für lineare Systeme verwendet werden. Es muss jedoch sichergestellt werden, dass die Genauigkeit der Näherung ausreichend hoch ist. Speziell Systeme mit Unstetigkeiten können hier problematisch sein, da die Änderung der Modellvorstellung und damit die Regelerparametrierung sprunghaft auftreten können.

Kann die sukzessive Linearisierung eingesetzt werden, so hat man es mit einem linearen, zeitvarianten System zu tun, d.h. die Modellmatrizen A,B,C,D sind abhängig vom aktuellen Arbeitspunkt.

Darüber hinaus erweitet sich die Problematik erneut, falls ein Beobachter verwendet wird, da durch die bei der Linearisierung auftretende Anhängigkeit der Modellmatrizen vom aktuellen Arbeitspunkt die Korrekturmatrix im Beobachter, die diese enthält, von der aktuellen Stellgröße abhängt, gleichzeitig aber die Stellgröße Ergebnis der sich direkt anschlißenden Minimierung ist. Dadurch muss hie selbst im linearen, ungeschränkten Fall eine Optimierung eingesetzt werden.