Modellgestützte Prädiktive Regelung

Das Verfahren der Modellgestützten Prädiktiven Regelung (MPR) wurde Ende der 1970er Jahre entwickelt. Dabei bezeichnet MPR kein spezifisches Regelungsverfahren sondern vielmehr eine ganze Klasse an Regelungsmethoden, die auf der expliziten Nutzung eines Modells des zu regelnden Prozesses basieren, um mit diesem das Verhalten relevanter Prozessgrößen vorhersagen und in einer zu minimierenden Kostenfunktion bewerten zu können. Die Methodik ist dabei auf alle Prozessklassen (linear und nichtlinear) anwendbar. Allen unter dem Namen MPR zusammengefasseten Verfahren sind die folgenden Merkmale gemeinsam, auf welche im Folgenden noch eingegangen wird:

Explizite Nutzung eines Prozessmodells

Bei allen Modellgestützten Prädiktiven Regelungsverfahren wird mit einem geeigneten Prozessmodell das Verhalten des Prozesses in Abhängigkeit von zukünftigen Stellgrößenverläufen prädiziert. Dabei bezeichnen x(k+j|k) und y(k+j|k) den Zustands- bzw. Ausgangsgrößenvektor zum Zeitpunkt tk+j, welcher vom Zeitpunkt tk aus prädiziert wurde. Äquivalent dazu bezeichnet u(k+j|k) den zum Zeitpunkt tk+j angenommenen Stellgrößenvektor im Zeitpunkt tk+j. Die Darstellung a(·|k) bezeichnet den gesamten prädizierten Verlauf einer Größe a ausgehend vom Zeitpunkt tk. Ziel ist es im Allgemeinen, den Verlauf der Regelgröße innerhalb eines relevanten zukünftigen Zeitfensters, dem so genannten Prädiktionshorizont, in Abhängigkeit des Stellgrößenverlaufs u(·|k), welcher optimal zu wählen ist, zu formulieren. Die Grenzen N1 und N2 des Prädiktionshorizont sind dabei Parameter der Regelung, welche festzulegen sind. Es ist sinnvoll den unteren Prädiktionshorizont N1 mindestens so groß wie die Systemtotzeit zu wählen, da die zu berechnenden aktuellen Eingangsgrößen erst nach dieser Totzeit eine Auswirkung auf die Regelgröße haben. Der obere Prädiktionshorizont ist so zu wählen, dass die wesentliche Dynamik des Prozessmodells erfasst werden kann.

Optimierung der Stellgrößen

Ziel der Regelung ist es, dem zukünftigen Sollwertverlauf w(·|k) bestmöglich zu folgen. Da es offensichtlich ist, dass nicht sprungfähige Systeme einer plötzlichen sprungförmigen Sollwertänderung nicht folgen können, wird in vielen MPR-Formulierungen zusätzlich eine zukünftige Referenztrajektorie r(·|k) formuliert, die den gewünschten dynamischen Übergang zum neuen Sollwert vorgibt. Das Ziel der Regelung modifiziert sich damit dazu, die Abweichung des prädizierten Verlaufs der Regelgröße von der Referenztrajektorie in dem so genannten Prädiktionshorizont zu minimieren. Um die Anzahl der zu optimierenden Parameter zu begrenzen, wird für u(·|k) die zusätzliche strukturelle Annahme getroffen, dass sich u(·|k) ab dem Zeitpunkt k+Nu−1 nicht mehr ändert, d. h. u(k+Nu+j|k)=u(k+Nu−1|k) für alle j≥0 gilt. Der Parameter Nu wird dabei als Stellhorizont bezeichnet. Die Quantifizierung der Abweichung des Regelgrößenverlaufs und der Referenztrajektorie erfolgt durch die skalare Kostenfunktion J, wobei in der überwiegenden Mehrzahl der Fälle die quadratische Norm ||s||A2=sTAs verwendet wird (andere Vektornormen sind jedoch ebenfalls anwendbar). Hiermit ergibt sich für die Kostenfunktion

 

J=||y(·|k)-r(·|k)||Q2+||Δu(·|k)||R2+||u(·|k)||S2

 

Die Wichtungsmatrizen Q, R, S sind prositiv semidefinite Diagonalmatrizen, deren Einträge wiederum Parameter der MPR sind. Die Berechnung der optimalen Stellgrößenfolge ergibt sich aus der Minimierung von J, d.h.

 

u(·|k)opt = arg min J(u(·|k))

s.t.

x(k+j+1|k)=f(x(k+j|k),u(k+j|k))

y(k+j+1|k)=h(x(k+j|k),u(k+j|k))

u(k+j|k)=u(k+j-1|k)+Δu(k+j|k))

gin(x(k+j|k),y(k+j|k),u(k+j|k),Δu(k+j|k))≤0

geq(x(k+j|k),y(k+j|k),u(k+j|k),Δu(k+j|k))=0

 

Dabei ist das für die Prädiktion verwendete Prozessmodell durch die Funktionen f und h gegeben, und die Funktionen gin und geq bezeichnen die zu berücksichtigenden Nebenbedingungen, welche sich durch Beschränkungen der Stell-, Zustands- und Ausgangsgrößen ergeben.

Prinzip des zurückweichenden Horizonts

In jedem Abtastschritt tk wird eine optimale Folge an Stellsignalen u bzw. Stellgrößenänderungen Δu für den betrachteten Prädiktionshorizont [tk+N1 ... tk+N2] berechnet. Es wird jedoch nur der erste Wert dieser optimalen Stellgrößenfolge an den Prozess ausgegeben. Die weiter in der Zukunft liegenden Einträge werden verworfen und die Berechnungen werden im folgenden Zeitschritt mit einem um einen Abtastschritt verschobenen Horizont wiederholt. Dieses Vorgehen wird als Prinzip des zurückweichenden Horizonts bezeichnet, welches auch zur Bezeichnung Receding Horizon Control (RHC) für die MPR führt.

Eigenschaften der Modellprädiktiven Regelung

Die Modellgestützte Prädiktive Regelung zeichnet sich durch mehrere Eigenschaften aus: Unter Verwendung der Zustandsraumbeschreibung ist sie besonders für die Mehrgrößenregelung geeignet. Die Kostenfunktion mit den intuitiv verständlichen Einstellparametern der Wichtungsmatrizen Q, R, S und den Stell- bzw. Prädiktionshorizonten ist flexibel erweiterbar; zusätzliche Kriterien sind problemlos zu integrieren, sofern sie sich in Abhängigkeit des Stellgrößen(änderungs-)vektors beschreiben lassen. Aus regelungstechnischer Sicht besitzt die MPR die folgenden Vorteile:

  • einfache Behandlung von gekoppelten Mehrgrößensystemen mit inhärenter Entkopplung
  • explizite Berücksichtigung von Begrenzungen der Stell-, Zustands- und Ausgangsgrößen
  • inhärente Kompensation von Totzeiten
  • inhärente Störgrößenaufschaltung durch Berücksichtigung mess- oder schätzbarer Störgrößen im Prozessmodell
  • Berücksichtigung zukünftiger Sollwerttrajektorien
  • intuitiver Charakter ermöglicht Bedienung auch bei begrenzter regelungstechnischer Ausbildung

Nachteilig wirkt sich vor allem der notwendige Rechenzeitbedarf aus. Selbst im Fall einer linearen Streckenbeschreibung ist durch die auch zur Laufzeit notwendigen Matrizenmultiplikationen der Rechenaufwand deutlich höher als bei einfachen Reglern. Weiterhin hat die Qualität der verwendeten Prozessmodelle entscheidenden Einfluss auf die Regelgüte, so dass hier zwingend ein Zielkonflikt auftritt zwischen dem Wunsch nach detaillierten, rechenaufwendigen Modellen einerseits und einfachen, schnell zu rechnenden Streckenbeschreibungen andererseits.