Lagrange-basierte Regelung

Die Idee der Regelung durch Minimierung von energieähnlichen Funktionen ist nicht neu und startet mit den früheren Arbeiten von Lyapunov im Jahre 1907. Die Lagrange-basierte Regelung gehört zu dieser Gruppe und stammt aus den 90er Jahren.

Für den Fall mechanischer Systeme ist diese Methode von besonderer Bedeutung, da der Entwurf auf den natürlichen physikalischen Energien basiert. Ausgehend von der ungeregelten Lagrangefunktion des nichtlinearen mechanischen Systems, wird eine virtuelle geregelte Lagrangefunktion für den geschlossenen Kreis derart bestimmt, dass er durch die künstliche Rückführung ein stabiles System beschreibt.

Lagrange-Formalismus

Die Anwendung des Verfahrens kann durch folgende schematische Darstellung verdeutlicht werden:

Die Lagrange-Formulierung der Bewegungsgleichungen mechanischer Systeme beruht auf Variationsprinzipien. Betrachtet wird ein mechanisches System mit m Freiheitsgraden, dessen Bewegungsgleichungen mit den generalisierten Koordinaten

beschrieben werden.

 

 

Die Lagrange-Funktion

enthält die konservativen Energieterme (kinetische und potentielle Energie) in Abhängigkeit der generalisierten Koordinaten.

 

 

Bei Betrachtung der nichtkonservativen Energieterme, der äußeren Kräfte Fj und der Dissipationsfunktion D(.,.) ergeben sich die Lagrange-Bewegungsgleichungen eines nicht-konservativen Systems:

 

 

Einige äußere Kräfte können als Stellgrößen betrachtet werden. Die virtuelle Lagrange-Funktion des geregelten mechanischen Systems Lc und eine Gruppe von Stellgrößen (u1,…,uf) sind so zu definieren, dass das ungeregelte Ausgangssystem äquivalent zu dem durch

beschriebenen geregelten System ist und die aus der künstlich eingeführten Rückführung resultierenden Stellgrößen das mechanische System um eine Gleichgewichtslage stabilisieren.

 

Nach der Trennung von aktuierten und unteraktuierten Variabeln können Umformungen der potentiellen und/oder kinetischen Energie durchgeführt werden. Außerdem können die asymptotischen Stabilitätseigenschaften durch Einfügen von zusätzlichen dissipativen Termen verbessert werden.

Der Vorteil dieses Verfahrens ist, dass die Lagrange-Struktur erhalten bleibt und auf diese Weise, die aus der physikalischen Systemdarstellung erhaltene Lyapunov-Funktion zum Stabilitätsnachweis angewandt werden kann.

Ausgleichbedingungen (matching conditions)

Die geregelte Lagrange-Funktion kann nicht jede beliebige Form annehmen. Die Äquivalenz zwischen den Lagrange-Gleichungen des geregelten und ungeregelten Systems stellt ein Ausgleichsproblem (matching problem) dar, für das zahlreiche Lösungsansätze entwickelt wurden.

Eigenschaften der Lagrange-basierte Regelung

Die Lagrange-basierte Regelung zeichnet sich durch mehrere Eigenschaften aus:

Sie ist für nicht lineare unteraktuierte mechanische Systemen geeignet. Aus dem Verfahren ergibt sich eine modellbasierte Regelstruktur, wobei häufig mehrere Freiheitsgrade bleiben, um die Regelgüte zu verbessern. Außerdem bietet die Strategie einen physikalischen, energetischen Blick auf den Regler und dadurch einen vereinfachten Stabilitätsnachweis.

Nachteilig bei diesem Verfahren ist die schon bei sehr einfachen mechanischen Systemen hohe Komplexität und der große Rechenaufwand, der sich aus den komplizierten Regelgesetzen ergibt.

 

Diese Methode der Regelungstechnik wird innerhalb des von der DFG geförderten Schwerpunktprogramms SPP1305 im Vorhaben „Regelung von Fahrzeugkolonnen mit topologisch veränderlichem Kommunikationsnetzwerk auf der Basis von Energiemethoden“ angewendet. Mehr Information darüber finden sich unter http://spp-1305.atp.rub.de/